DERIVADAS
Derivadas
¿Qué es una derivada de una función?
Dentro del mundillo de las matemáticas las derivadas son una forma más de averiguar un resultado que necesitamos para resolver un problema dado u ocasionado. Las derivadas principalmente sirven para calcular un valor en un punto determinado de una función matemática que varía progresivamente.
“La derivada calcula el límite de la rapidez de cambio media
de la función en cierto intervalo.” Por lo que, una derivada nos ayudará a medir la rapidez con el que se produce el cambio de una magnitud o situación.
Sean II un intervalo abierto de los reales, aa un punto de II y sea la función
f:I→Rf:I→R
Entonces, decimos que ff es derivable en el punto aa si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor lo denotamos por f′(a)f′(a):
Nota: los dos límites anteriores son equivalentes.
Decimos que ff es derivable en II si lo es en todos los puntos del intervalo II.
Llamamos derivada de ff a la función f′(x)f′(x) siendo x∈Ix∈I.
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a las derivadas de funciones elementales (por ejemplo, la función constante, potencia, coseno, exponencial, logaritmo, etc.).
Las funciones más complejas se pueden escribir como composición de funciones elementales. Podremos derivar estas funciones más complejas utilizando las reglas de derivación, la regla de la cadena y las derivadas elementales.
Las derivadas elementales se calculan con la propia definición de derivada (calculando el límite) y las escribimos en una tabla para utilizarlas al derivar las funciones más complejas.
Veamos dos ejemplos del cálculo de derivadas a partir de su definición:
Ejemplo 1: derivada de la función constante.
Ejemplo 2: derivada de la función seno.
Una de las más importantes propiedades es la relación entre derivabilidad y continuidad:
Si ff es derivable en el punto aa, entonces ff es continua en aa.
Ver demostración
Reglas de derivación:
1. Derivada de la inversa: Sea ff derivable en el punto aa tal que la derivada en dicho punto no se anula, esto es, f′(a)≠0f′(a)≠0, y existe la inversa de ff en un entorno de f(a)f(a), entonces
2. Derivada del producto por una constante: Sea ff derivable en aa y sea kk una constante, entonces
3. Derivada de la suma de dos funciones: Sean ff y gg dos funciones derivables en aa, entonces
4. Derivada del producto de funciones: Sean ff y gg dos funciones derivables en aa, entonces,
5. Derivada del cociente de funciones: Sean ff y gg funciones derivables en aa siendo g(a)≠0g(a)≠0, entonces
La regla de la cadena es un teorema de gran importancia por su aplicación. Este resultado es el que nos permite calcular la derivada de la composición de funciones.
Regla de la cadena: Sean ff y gg dos funciones tales que ff es derivable en aa y gg es derivable en f(a)f(a), entonces
de la función en cierto intervalo.” Por lo que, una derivada nos ayudará a medir la rapidez con el que se produce el cambio de una magnitud o situación.
1. Derivable y derivada
Sean II un intervalo abierto de los reales, aa un punto de II y sea la función
f:I→Rf:I→R
Entonces, decimos que ff es derivable en el punto aa si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor lo denotamos por f′(a)f′(a):
Nota: los dos límites anteriores son equivalentes.
Decimos que ff es derivable en II si lo es en todos los puntos del intervalo II.
Llamamos derivada de ff a la función f′(x)f′(x) siendo x∈Ix∈I.
2. Derivadas elementales
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a las derivadas de funciones elementales (por ejemplo, la función constante, potencia, coseno, exponencial, logaritmo, etc.).
Las funciones más complejas se pueden escribir como composición de funciones elementales. Podremos derivar estas funciones más complejas utilizando las reglas de derivación, la regla de la cadena y las derivadas elementales.
Las derivadas elementales se calculan con la propia definición de derivada (calculando el límite) y las escribimos en una tabla para utilizarlas al derivar las funciones más complejas.
Veamos dos ejemplos del cálculo de derivadas a partir de su definición:
Ejemplo 1: derivada de la función constante.
3. Propiedades y Reglas de derivación
Una de las más importantes propiedades es la relación entre derivabilidad y continuidad:
Si ff es derivable en el punto aa, entonces ff es continua en aa.
Ver demostración
Reglas de derivación:
1. Derivada de la inversa: Sea ff derivable en el punto aa tal que la derivada en dicho punto no se anula, esto es, f′(a)≠0f′(a)≠0, y existe la inversa de ff en un entorno de f(a)f(a), entonces
2. Derivada del producto por una constante: Sea ff derivable en aa y sea kk una constante, entonces
3. Derivada de la suma de dos funciones: Sean ff y gg dos funciones derivables en aa, entonces
(f+g)′(a)=f′(a)+g′(a)(f+g)′(a)=f′(a)+g′(a)
4. Derivada del producto de funciones: Sean ff y gg dos funciones derivables en aa, entonces,
5. Derivada del cociente de funciones: Sean ff y gg funciones derivables en aa siendo g(a)≠0g(a)≠0, entonces
4. Regla de la cadena
La regla de la cadena es un teorema de gran importancia por su aplicación. Este resultado es el que nos permite calcular la derivada de la composición de funciones.
Regla de la cadena: Sean ff y gg dos funciones tales que ff es derivable en aa y gg es derivable en f(a)f(a), entonces
(g∘f)′(a)=g′(f(a))⋅f′(a)
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